ln跟log的差異,為什麼自然對數這麼重要？

 log是取對數(指數的相反方向)

log再加個數在下面，就是以那個數為底的對數。如log0.2(10），即為以0.2為底的對數。

具體來說：如果a(a>0，且a≠1)的b次冪等於n，即ab=n，那麼數b叫做以a為底n的對數，記作：logan=b,其中a叫做對數的底數，n叫做真數。

lg是以10為底數的對數。

ln是以e為底數，稱為自然對數。

exp(1/n)=e^1/n = (1 + 1/n)ⁿ

http://blog.udn.com/cchahacaptain/4565752

基本上只要和微積分沾的上關係的，電子、化工、乃至於純數學，一定看的見這兩個符號：【e】【ln】，從高中開始看見這個符號，沒有一個老師能回答我為什麼要有這個符號？為什麼它存在？為什麼不用log卻用ln？為什麼會需要一個2.7182818..這麼奇怪的數字？老是要我背，不希望我問為什麼？我真的是刁鑽的學生嗎？好痛苦！我真的沒辦法忽略它，跳過這個問題去考試。

這個問題困擾了我將近二十年，後來我終於看懂了，搞死我了，原來只是這樣！

所有的運算，都是基於加減法而來，而人類社會越來越複雜，越來越依賴數字的運作，乘除法便應運而生，乘除法是加減法的簡式，它把一大堆符號合併成單一式子，使得我們可以進行更複雜的紀錄與運算。

當社會越來越進步，建築、航海、經濟等等越來越發達，使得我們不只需要計算複雜的式子，也需要快速得到答案，在沒有計算機的年代，查表變成了最快得到答案的方法，可怕的是，要有一個瘋子去建出這本好似電話簿的數字表！

2 = 2¹   第1欄

4 = 2²   第2欄

8 = 2³   第3欄

16 = 2⁴  第4欄

32 = 2⁵  第5欄

早期的科學家，發現了下面兩個式子的對應關係。

4 * 8 = 32 ……(1)

log₂(4) + log₂(8) = log₂(32) ……(2)

換句話說，(4*8)這個計算，我只需要做出(2+3=5)，接下來在第5欄查到32就可以得到答案了，或許有人會直接用99乘法表心算得到答案，覺得這個查表很愚蠢，我必須要說，你在用的99乘法表不就是在查表嗎？你在幹的事不就和幾百年前做的一模一樣嗎？算一下4096*8192，沒背了！就寫不出來了！

很遺憾，上述的表格再大也查不出來(9*9)的答案，問題就在底數的選擇，這裡選的是(2)，這期間有許多人做出許多奮鬥，嘗試了各種數字，納皮爾這個人花了將近20年做出了一本精確到7位數字的對數表，所以人類的進步都是依賴這些瘋子完成的，不是看那些大學生整天用嘴說：【用青春寫歷史、青春萬歲、燃燒青春】，這裏面我只承認【燃燒青春】，每天熬夜在玩不燃燒青春嗎？

一直到有一個傢伙選了一個極為聰明的函數，就因為這個特殊的函數型態，導致日後的微積分，乃至於其他的科學，才得以行進下去，沒有這個東西，我們現在可能還停留在莊園時代，說不定是個佃農：

(1 + 1/n)ⁿ，

假設n = 1000，就是1.001¹⁰⁰⁰，為了方便，我們使用n = 100，就是1.01¹⁰⁰，假設它為a，那我們就用這個數字建一個對數表：

第一欄 0.01 = log_a(N)  N = (1.01¹⁰⁰)^0.01 = 1.01¹ = 1.01

第二欄 0.02 = log_a(N)  N = (1.01¹⁰⁰)^0.02 = 1.01² = 1.0201

第三欄 0.03 = log_a(N)  N = (1.01¹⁰⁰)^0.03 = 1.01³ = 1.030301

……

有一種東西叫巴斯卡三角形，這個東西是基於二項式定理來的

   1

  1 1

 1 2 1

1 3 3 1

看到了這個三角形，再看看上面對數表最後面的數字，大概可以感受到為什麼要使用1.01、1.001等等這麼奇怪的數字型態了吧，因為這種數字型態可以更快速計算出答案。

說到這裡要再囉嗦一下，不要再去計較中國的楊輝三角比巴斯卡三角要早，所以中國人比較厲害，感覺很像小孩子吵架，你爸爸憋氣一分鐘，我爸爸更厲害，可以憋10分鐘，再怎麼厲害，也是祖先厲害，又不是你，沾甚麼光！

另一個巨人：尤拉(Euler)，眼睛瞎了還可以寫數學著作，也是一個偉大的瘋子，聽說這個人個性很謙虛，他證明出當n為無限大時：

這個式子是收斂值，這是一個極為重要的發現，一個確認大小的數字，裡面可以切割出無限個點，這表示我可以做出刻度無限小的對數表(0.0…..0001)，換句話說任何數字經過nature log相關運算必定能算出數字，而這個數字存在，只是寫不出來，寫不寫得出來只是書寫極限，並不影響存不存在的問題。

我認為，這也就是為什麼許多地方，無論是物理學、數學、工程等等的方程式推演，很喜歡朝向ln(nature log)、e的方向行進，就是這個原因。

現在我有的時候回頭看古人搞科學，看到那些神妙處，真慚愧，越古會的應該越少才對，我甚麼都不會，應該才是古代人，他們是現代人，曾國藩的兒子曾紀鴻是一個大數學家，算出的圓周率竟然準確到小數點100位，我的媽呀！他是用手算耶！愛因斯坦十幾歲的時候，他的老師告訴他媽媽，妳一定要讓愛因斯坦去學一門手藝，不然他那麼笨，將來非餓死不可，結果他20幾歲發表了相對論、光電效應等論文，聰明還是笨，古代還是現代，真的很難說！